二元二次方程组是由两个二元二次方程所组成，或由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成。二元二次方程的一般式为：ax2+bxy+cy2+dx+ey+?蕊=0，其中二次项为ax2，bxy，cy2，一次项是dx，ey，?蕊是常数项。和解二元一次方程组相比，解二元二次方程组的难度大，主要在于元多、次高。解二元二次方程组的基本方法是消元和降次。由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组可用代入消元法来解；而由两个二元二次方程所组成的方程组的解法较复杂，通常是使用因式分解法、换元法、代入法等，或多种方法综合运用。下面就举例谈谈消元或降次的途径和方法。

　　一、代入消元法

　　例1.解方程组x2-2xy-y2=7  ①x+2y=0    ②

　　解法分析：此方程组的特点是由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成，可将②式变形用代入消元法来解。②式可变为x=-2y，将x=-2y代入①，得：y2=1，于是有：

  y1=1,y2=-1；分别将y1=1,y2=-1，代入②式，即可解得，x1=-2,x2=2

　　于是解得这个方程组的解有：x1=-2x2=1和x1=2x2=-1两组。

　　例2.解方程组x2-y2-3x+2y=10 ① x+y=7     ②

　　解法分析：由①，得(x+y)(x-y)-3x+2y=10  ③

　　将②整体代入③，得7(x-y)-3x+2y=10，即4x-5y=10 ④

　　联立②、④并求解，即得原方程组的解为x=5y=2

　　二、加减消元法

　　例3.解方程组y=2x+1 ① y2=4x+3 ②

　　解法分析：此方程组的特点是两个方程中含x的项成比例，因此可消去含x的项。

　　将②-①×2，得：y2=2y+1=0，∴y1=1,y2=1，

　　接下来的求解将变得简单了，可以用代入法最终求得方程组的解。

　　例4.解方程组xy+x=3 ① 3xy+y=8 ②

　　解法分析：①×3-②，可得3x-y=1→y=3x-1

　　接下来的求解将变得简单了，可以用代入法最终求得方程组的解。

　　再如方程组x2+y2=3 x2-y2=0和xy+x=16 xy-x=8均可用加减法来求解。

　　三、因式分解法

　　例5.解方程组：x2-2xy-3y2=0 ① x2-4xy+4y2=1 ②

　　解法分析：此方程组的特点是两个方程的左边式子都可以进行因式分解。

x2-2xy-3y2=0 ① x2-4xy+4y2=1 ②→x-2y=1x-3y=0 x-2y=1x+y=0 x-2y=-1x-3y=0 x-2y=-1x+y=0

　　接下来求出这四个方程组的解即可。

　　例6.解方程组：3x2+11xy+10y2=35 ① x2+xy-2y2=7   ②

　　解法分析：此方程组的特点是两个方程的左边式子都可以进行因式分解，

　　变成：(x+2y)(3x+5y)=35 ① (x+2y)(x-y)=7  ②而此时可以看出两式成倍数关系。

　　由①式除以②式得：3x+5y=5(x-y)，化简，得：x=5y

　　接下来的求解将变得简单了，可以用代入法最终求得方程组的解。

　　例7.解方程组：x2-y2=3      ① x2-4xy+3y2=-1   ②

　　解法分析：此方程组的特点是两个方程的左边式子都可以进行因式分解，

　　变成：(x+y)(x-y)=3   ① (x-3y)(x-y)=-1  ②①÷②得■=-3，即x=2y

　　接下来的求解将变得简单了，可以用代入法最终求得方程组的解。

　　四、逆用韦达定理法

　　例8.解方程组x+y=7     ① x2+y2+x+y=32  ②

　　解法分析：由②，得(x+y)2-2xy+(x+y)=32 ③

　　把①代入③，得：72-2xy+7=32，即xy=12 ④

　　由①、④及韦达定理的逆定理，知x，y是方程t2-7t+12=0的两个根。解这个方程，得t1=3,t2=4。于是可求得原方程组的解为x1=3y1=4

x2=4y2=3

　　五、消常数项法

　　例9.解方程组：x2-2xy-y2=7   ① xy-y2=-3    ②

　　解法分析：此方程组的特点是不含未知数的一次项，解这类方程组，通常消去常数项，得到形如ax2+bxy+cy2=0的方程再运用因式分解法。

　　将①×3+②×7得：3x2+xy-10y2=0，使用因式分解法，得：

　　(x+2y)(3x-5y)=0，于是有：x+2y=0，3x-5y=0

　　再将这两个二元一次方程分别与方程①组合成两个方程组，即：

　　x2-2xy-y2=7x+2y=0和x2-2xy-y2=73x-5y=0

　　接下来的求解将变得简单了，可以用代入法最终求得方程组的解。

　　例10.解方程组：x2+y2=5  ①xy=2   ②

　　解法分析：①×2-②×5得：2x2-5xy+2y2=0，于是有(x-2y)(2x-y)=0

　　可得：x-2y=0，2x-y=0，

　　再分别将这两个二元一次方程分别与原方程②组合成两个方程组：

　　x-2y=0xy=2 ，2x-y=0xy=2

　　接下来可用代入法最终求得方程组的解。

　　此题中的两个方程很有特点，因此解法较多。还可采取①+②×2，得到一个新方程：x2+2xy+y2=9，它的左边是一个完全平方式(x+y)2，右边是一个常数。于是有：x+y=3,x+y=-3

　　再将①-②×2，得：x2-2xy=y2=1，于是有：x-y=1，x-y=-1

　　再将这四个方程组合成四个方程组，

  x+y=3x-y=1 x+y=3x-y=-1 x+y=-3x-y=1  x+y=-3x-y=-1

　　求出这四个方程组的解即可得到原方程组的解。

　　六、比例降次法

　　例11.解方程组：x2-2y2-y=1   ①2x2-4y2+x=6   ②

　　解法分析：此方程组的特点是两个方程的二次项系数成比例，因此可消去二次项。

　　将①×2-②，得-2y-x=-4，即：x=-2y+4

　　接下来的求解将变得简单了，可以用代入法最终求得方程组的解。

　　例12.解方程组4x2-9y2=15   ①2x-3y=5    ②

　　解法分析：由于4x2-9y2=(2x+3y)(2x-3y)，

　　将①÷②，得2x+3y=3 ③

　　连立②、③并求解，得原方程组的的解为x=2y=-■

　　七、比例消元法

　　例13.解方程组：2x2+5y2-4x+y-6=0   ①x2+2y2-2x+y-3=0   ②

　　解法分析：此方程组的特点是两个方程中含的项的系数对应成比例，因此可消去含的项。

　　将①-②×2，y2-y=0，解得：y1=0，y2=1

　　将y1=0，y2=1分别代入①得：2x2-4x-6=0，2x2-4x=0

　　分别解这两个一元二次方程得：x1=3，x2=-1,x3=0,x4=2

　　∴原方程组的解为x1=3y1=0 x2=-1y2=0 x3=0y3=1 x4=2y4=1

　　八、换元法

　　例14.解方程组x2+y2=52   ①xy+x+y=34  ②

　　解法分析：方程①可化为(x+y)2-2xy=52，观察比较方程②，可设x+y=u，xy=v，使用换元法，可将原方程组变为u2-2v=52 ③u+v=34  ④→u1=10v1=24或u2=12v2=46

　　即x+y=10xy=24或x+y=-12xy=46，由x+y=10xy=24→x1=4y1=6或x2=6y2=4，

　　x+y=-12xy=46无解，∴原方程组的解是x1=4y1=6或x2=6y2=4

　　例15.解方程组■-■=1x-y=1

　　解法分析：原方程组可化为4(x+1)2-9(y-1)2=36(x+1)-(y-1)=3

　　令x+1=m，y-1=n,则原方程组化为4m2-9n2=36m-n=3

　　解得m1=3n1=0 m2=■n2=■

　　代入所设，即可求得原方程组的解为x1=2y1=1,x2=■y2=■

　　例16.解方程组■+■=3■-■=-■

　　解法分析：观察方程组中两个方程的特点，可设■=m，■=n，则原方程组变成：5m+2n=33m+n=■ ，这是一个二元一次方程组，求得m,n的值后再代入■=m，■=n，即可求得原方程组的解。但须注意的是，当方程组中含有分式方程或无理方程时，可能存在增根，一定要注意验根。

　　总之，二元二次方程组类型不止以上几种，题型也相当多，解法又很灵活，我们必须仔细辨认方程组的特征，进行观察比较，反复训练，不断提高分析判断能力，以便掌握各种题型的解题方法。对于一些特殊的题目，我们不必循规蹈矩，可采取一些灵活高效的手段去消元、降次，进行创新思维，以便开拓解题思路，简化解题过程。