【正文】

  

      高中数学的教与学，根据学科特点和知识结构，前后内容具有很强的联系性，教授新的数学内容时，注意恰当地联系、复习前面所学的内容和知识，有利于认识新旧知识的结构、联系和发展，巩固已学知识，加深对已有知识的进一步理解和掌握。

　　现有高中数学内容，除极个别专题性的章节内容外，均可采用温故知新的方法进行教学。运用此法进行教学，可能一开始教学进度慢一点，但及时巩固已学内容，让知识承上启下，有利于学生系统地掌握数学知识。
　　例如，教学“不等式的解法”时，可以联系、对比相应“方程的求解”这一章节内容，既讲清了方程根是确定值，又可讲清不等式的解通常是一个范围，而不等式解的范围边界，又与类似方程的根有着紧密的对应关系和联系。
　　讲解“双曲线”时，可以联系、对比“椭圆”的定义、性质、方程及其讨论，对比分析，温故而知新。特别是椭圆和双曲线的方程、焦点坐标、准线方程，在字母信息a、b、c中似乎有许多相同点，但实际计算，因为a、b、c的内在关系不同，又有本质的不同。为什么双曲线有渐近线，而椭圆没有渐近线？三个字母的运算关系相同点和不同点是什么原因造成的等等。
　　讲解圆的标准方程（数学必修2中的第三章第一节），“圆的标准方程”是本章的核心概念,也是解析几何中的基本概念。圆的方程是在第三章直线方程结束后进行的，所以本节课从温故知新入手，以直线方程为背景，按照“温故——知新——巩固——思考”的顺序结构，引导学生通过联系以前的知识，科学地提出、分析、解决新知识，讲解过程如下：
　　1、温故：
　　前一章我们主要学习了直线的方程，它的各种形式，以及直线处于不同位置时直线方程所满足的条件。那我们首先来回忆一下，我们是怎样将直线和方程建立起联系的，一个方程满足什么条件时，我们称之为这个直线的方程？
　　学生答：直线上的点的坐标（x, y）都满足这个方程；且满足这个方程的（x, y）都在这个直线上，这时我们称这个方程为这个直线的方程。
　　那么，我们今天的任务是学习圆的方程，你在学习圆的方程之前能否说出，什么样的方程才能称之为圆的方程吗？
　　学生答：圆上的点的坐标（x, y）都满足这个方程；且满足这个方程的（x, y）都在这个圆上。
　　那我们就可以从这两点出发，找出圆的方程。
　　2、知新
　　首先第一步圆上的点的坐标都要满足这个方程，也就是说这个方程就是圆上任一点坐标都满足的式子。
　　那我们首先要给出一个圆，我们想得到一个圆，要知道哪些条件？（圆心和半径）
　　（1）先看一个特殊情况：已知圆心在原点，半径为2的圆，那么它上面的点的坐标都满足什么条件？









　　任一点（x,y）到圆心的距离都等于2也就是：
    ■=2或者x2+y2=4
　　（2）再一般点，已知圆心在(a,b)，半径为r的圆上的坐标满足什么条件？











　　（x,y）到（a,b）的距离等于r 写成式子就是：
  ■=r或者(x-a)2+(y-b)2=r2
　　这个式子具有代表性，任一个圆上的点的坐标都可以表示成这种形式。
　　其次再来考虑第二个条件，满足这个方程的（x,y）是否一定在这个圆上呢？
　　答：只要（x,y）满足这个方程，则(x,y)到（a,b）的距离就等于r，则这个点就一定在该圆上。
　　通过以上两点的考证，我们非常顺利地得出了圆的方程：圆心在(a,b)，半径为r的圆的方程：
　　(x-a)2+(y-b)2=r2
　　这种形式的圆的方程我们称之为圆的标准方程。
　　与直线方程类似，我们接下来还要学习圆的其他形式的方程。
　　观察这个标准方程，总结一下它的特点：
　　（1）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；
　　 （2）两个变量的系数都是1；
　　 （3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。（下转第18页）
（上接第19页）
　　3、巩固
　　我们对于刚才的结论做一些相应的练习，加深影响：练习1：根据已知条件写出下列圆的方程：
　　 （1） 圆心坐标为（-2，1），半径为3；
　　 （2）圆心为（2，-1），且过点（3，3）；
　　 （3）圆心为（3，1），且与直线3x-4y-6=0相切。
　　练习2：根据下列方程，指出圆的圆心位置以及半径：
　　 （1）(x+2)2+(y-3)2=5
　　 （2）(x+m)2+(y+n)2=a2
　　注意：这里的a，并不一定是半径，半径应该是|a|.
　　 练习3：判断下列点是否在圆(x-3)2+(y+2)2=16上：
　　（1）A（3，0）      （2）B（1,1）     (3)C(2,-2)
　　再问：不在圆上的点是在圆内还是圆外？如何判定？
　　要时刻注意圆的标准方程的形式是有其重要的几何意义的，它的左边就表示到圆心距离的平方，所以，将点的坐标代入圆的方程，如果坐标等于右边，则在圆上，若左边大于右边，则说明距离原点的距离大于半径，一定是在圆外，若左边小于右边，则在圆内，即：
　　(x-a)2+(y-b)2=r2?圳点（x,y）在圆上；
　　(x-a)2+(y-b)2＞r2点（x,y）在圆外；
　　(x-a)2+(y-b)2＜r2点（x,y）在圆内。
　　4、思考
　　如何确定一个圆？除了刚才所说的一个圆心和半径，还有什么？几个点可以确定一个圆？三个不在同一条直线上的点可以确定一个圆。那么给出三个点的坐标：
　　例1：已知A(5,1),B(7,-3)，C(2,8)，则写出过这三个点的圆的方程。
　　分析：相当于求三角形ABC的外接圆的方程。要想写出方程，必须知道圆心和半径。如何求圆心和半径呢？根据外接圆的性质，圆心应该是三条边的垂直平分线的交点，所以可以根据顶点坐标求出垂直平分线的方程，在求出平分线的交点坐标即圆心坐标，在根据两点间距离公式求半径的长度。当然这样做虽然很麻烦，但毕竟我们用我们以前所学的知识找到了解决问题的办法。那么现在再想想，有没有别的出路？
　　要求圆的方程，不如先设出它的方程来，再解出未知数。设该圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2，根据条件，三个点的坐标都满足该方程，列出式子，解出未知数：a,b,r即可。
　　高中数学的许多新授课程和内容，采用此法进行教学，能够让数学知识串成线、铺成面，前后呼应、相辅相成，及时加强巩固已学知识，引领新学知识，实践证明效果较好。