【正文】      我们在平时的数学教学中，对于一些典型的习题，要善于挖掘其蕴涵的深层潜力，充分利用一题多变，一题多思，引导学生去探究，去发现，从而培养学生的创新精神和实践能力。下面我从一道基本的数线段问题出发，谈谈自己的做法。
　　引例：如图所示，数一数图中有多少条不同的线段？


　　分析：两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1) 以A为左端点的线段有AC，AD，AE，AF ，AB共5条；(2)以C为左端点的线段有CD，CE，CF，CB共4条；(3) 以D为左端点的线段有DE，DF，DB共3条；(4) 以E为左端点的线段有EF，EB共2条；(5) 以F为左端点的线段只有FB．所以，不同的线段一共有：5+4+3+2+1=15(条)．
　　对于这一基本问题，我们可以作如下探究：
　　一、层层深入，探究规律
　　探究1：一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段？
　　分析：每两个不同的点可以组成一条线段。n个点中每一个点都可以和其余n-1个点组成n-1条线段，n个点和其余n-1个点共可组成n（n-1）条线段。又因为线段AB和BA是同一条线段，线段CB和BC是同一条线段……，所以这条直线上共有线段的总数为：■条。
　　规律：直线上n个点可形成线段的总条数为：■条。
　　探究2：平面上有n个点，连接其中任意两点得到一条线段，一共可以得到多少条线段？
　　分析：本题虽然从一条直线改为在一个平面上，但问题的本质并没有改变，每两个不同的点仍是组成一条线段，所以仍可以得到■条线段。
　　探究3：平面上有n条直线，最多有多少个交点？
　　分析：平面上任意两条直线，最多有1个交点，这与“每两个点形成一条线段”本质相同，所以可以得到：
　　平面上n条直线，最多有■个交点。
　　二、图形变化，探究方法
　　探究4：∠AOB的内部作3条射线，则图中共有多少个不同的角？
　　分析：本题要查的是角的个数，“每两条射线可以形成一个角”，这与“每两个点形成一条线段”的本质也没有改变，图中共有5条射线，所以可以得到■=■=10个不同的角。








　　规律：如图所示的n条射线可形成不同角的个数为：■个。
　　探究5：图中共有多少个三角形？ 
　　分析：其实，不同的三角形数目等于线段AB中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为■个。所以本题答案为15个。








　　探究6：图中一共有多少个长方形？
　　分析：图中AB边上有5个点(包括端点)，所以，AB边上不同的线段共有■=■=10(条)．同样，AD边上不同的线段有■=■=6条．所以，共有长方形10×6=60(个)．





　　三、建立模型，解决实际问题
　　探究7：(1)学校运动队举行一场兵乓球比赛，15人参加。如果每两个人都要打一场，一共要打多少场比赛？(2)十个足球队举行单循环赛，即每两队要踢一场比赛。组委会要安排几场比赛？
　　分析：本题考查的是比赛的场数，“每两人打一场比赛”，“每两队踢一场球赛”，这与“每两个点形成一条线段”实质上是一回事，所以都可以用公式■。
　　探究8： 6个同学在一起，大家都互相握手问候，共握手多少次？n个同学都互相握手问候，共握手多少次？
　　分析：如果把每个人都看作一点，“两人握手”，就相当于“两个点形成一条线段”，所以n个同学互相握手问候，共握手■次。
　　探究9：为了庆祝节日，n个好朋友互赠贺卡，共需贺卡多少张？
　　分析：一定注意此题与“n个人握手问题”不同，两个人握手只握一次，而两个好朋友互赠贺卡，就需要两张贺卡，所以“n个好朋友互赠贺卡，共需贺卡n（n-1）张。” 
　　探究10： 由梅州到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：梅州——兴宁——华城——河源——惠州——东莞——广州，那么要为这次列车制作的火车票的票价有几种？要为这次列车制作的火车票的种类有多少张？ 
　　分析：火车票的票价数与 “握手”问题类似，“两车站之间产生一种票价”就相当于“两个点形成一条线段”，所以7个车站共产生■=21种票价。而“梅州——兴宁”与“兴宁——梅州”的车票是两种，所以“为这次列车制作的火车票的种类”与“朋友互赠贺卡” 问题类似，共有火车票的种类n（n-1）=7×6=42张。
　　以上从数线段问题出发，不断从新的视角理解原题的内涵，对学生熟悉的问题进行变通推广、重新认识，恰当合理地引申，一题多变，这样可以营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，激发学生的情趣，引导学生探索、发现和思考，让学生感受数学的变化，从而激发他们的好奇心和求知欲，拓展其认识数学问题的视野，培养学生的创新思维。