【正文】      “数学鲜明地区别于人类的其他所有知识体系之处在于，它坚持从作为必要条件的、以阐明的公理出发进行演绎证明，得出可以被接受的结论。”①然而，新课标引领下的数学课堂，虽然学生思维活跃，课堂活泼生动，但是，数学严谨的特性却逐渐被忽视，数学课堂中经常出现不严谨的现象。
　　现象之一：多样的解决问题的方法往往缺少相对应的信息
　　西师版小学数学第四册解决乘加两步计算问题的教材中有这样一幅主题图：跷跷板乐园里，有三个跷跷板，每个跷跷板的两头分别坐着两个小朋友，周围还有七个小朋友在看。我曾听过几堂该内容的课，教学过程一般是这样的：
　　首先，在寻找信息的环节，学生会寻找到很多的信息，一部分为有效信息，一部分为无效信息。接着，教师选择“有三个跷跷板；每个跷跷板上有四个小朋友；还有七个小朋友在看”这三个信息，要求学生根据信息提出数学问题，最终解决“跷跷板乐园里一共有几个小朋友”这个有价值的数学问题。解决问题的过程中，一般最先出现的方法就是“3×4+7=19（个）”，也有学生分步计算：“3×4=12（个），12+7=19（个）”。接着，由于对多样化方法的倡导，学生又会出现“2×6+7”（跷跷板上的小朋友2个一组，有6组），“2×9+1”（所有孩子2个一组，还多1个），“4×5－1”（所有孩子4个一组，还少一个），“3×4+3+3+1”（看的小朋友分成3个、3个、1个三部分）等方法来解决这个问题。这些方法的出现，充分体现了学生作为学习主体的地位，学生思维的火花正在不断闪光。
　　但是，这些多样的方法是否符合数学解决问题的逻辑要求呢？让我们从问题的构成和解决来看。“构成问题的三个基本要素是：想要达到的目标，围绕目标的相关信息以及给定信息与目标之间的障碍。所以，解决问题实质上就是超越已知信息与问题目标之间的障碍，建立已知信息与问题目标之间联系的过程。”②上例在解决“跷跷板乐园里一共有几个小朋友”这个问题时，提出的多种方法中需要的很多信息是原来并未找到的。例如，用“2×6+7”的方法就必须有这几条信息：“每个跷跷板的每一头坐着2个小朋友；三个跷跷板共有6头；有7个小朋友在看”；而“3×4+3+3+1”这种方法则更是把看的小朋友分成了3个、3个、1个这样三份。这里就存在着这样的问题：学生在解决问题的过程中用到了并不曾寻找到的信息，也就是说，他解决问题的方法从严格意义上来讲是错误的，因为他的方法没有前提条件。但是，由于建设开放性课堂的需要，教师却在课堂教学中或多或少地鼓励着这种“错误的多样化”,这显然是不可取的。
　　现象之二，多样的方法在形式多样还是本质多样上区别不清
　　例如，在解决上述“跷跷板乐园里一共有几个小朋友”这个问题的许多方法中，有这样两种方法：“3×4+7=19（个）”、“3×4=12（个），12+7=19（个）”，这两种方法的思维过程都是“先求出三个跷跷板上有几个小朋友，再求出跷跷板乐园一共有几个小朋友”。它们只是表达形式的不同，是分步列式解决和列综合算式解决的不同。求“跷跷板乐园的人数”这一问题，如果不再提炼新的信息的话，只有“4+4+4+7”这种方法与“4×3+7”的方法属于异质思维产生的多样化方法。作为教师，在认可那些多形式的解决方法的同时，要分清所谓多样化的方法究竟是思维本质的不同还是仅仅是同一思维的不同表现形式，多肯定异质的多样化思维。
　　现象之三，教师或教材提供的教学素材也会存在设计上的不严密
　　王杰观、胡风玲老师在《加强数学语言的教学》一文中的一组数据很能说明问题：“一年多来，先后听了68节数学课，据统计，有知识性错误的有38节，约占56%”③ 还是上面提到的“跷跷板乐园”主题图，这幅主题图针对二年级乘加两步计算解决问题的教学内容，它不是严格的对应。因为，主题图中没有“4”，只有“2+2=4”或“2×2=4”（每个跷跷板有2头，每头坐2人），正确的方法就应该是“2×2×3+7”或“（2+2）×3+7”。当然，如果把在前面看的小朋友分成几份看待，方法还会更多。可见教学内容要求学生掌握的“4×3+7”这个方法中的“4”已经是对两个信息的综合而得出的结果了。也就是说，从主题图所提供的信息看，它至少也是一个需要三步计算解决的问题。
　　数学课堂的不严谨不仅对学生学习数学不利，而且对学生的终身发展也是不利的。就如日本数学教育家米山国藏所说的：“学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一二年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用。”④事实上，数学教学内容是一直与数学的严谨性相伴的。作为小学数学课程内容的“商不变性质”、“分数的基本性质”等都伴有“零除外”的附加条件；在研究“数的整除”中也把“非零自然数”作为研究的前提；对平行线的定义，除了“不相交”之外，还有“在同一平面”的前提；新课程教材中统计、概率、对称等内容也都渗透着数学的严谨有序性。更为重要的是，新课标在情感态度价值观这一维度的目标中明确提出了“感受数学的严谨性以及结论的确定性”的目标。
　　总之，数学是严谨的，数学教育也应该是严谨的教育。作为教师，自己要有一个系统的能满足教学需要的数学体系，同时，在为发展学生的多样思维建设开放课堂时，应该把学生的新异思维按其内在规律区别对待，纳入整个数学体系，尽量在教学中维护数学的严谨性，让学生数学大厦的基础更为坚实。
　　参考资料：
　　[1]克莱因语。转引自：郜舒竹主编，数学的观念、思想和方法，首都师范大学出版社，2004，第279页。
　　[2]郜舒竹主编，数学的观念、思想和方法，首都师范大学出版社，2004，第311，312页。
　　[3]转引自王工一：数学教育新视野，浙江大学出版社，2006年，第150页。
　　[4]徐斌艳主编，数学课程与教学论，浙江教育出版社，2003年，第141页。