刊名： 课程·教材·教法
Curriculum, Teaching Material and Method
主办： 人民教育出版社 课程教材研究所
周期： 月刊
出版地：北京
语种： 中文
开本： 大16K
ISSN： 1000-0186
CN： 11-1278/G4
历史沿革：
1981年创刊期刊荣誉：
国家新闻出版总署收录 ASPT来源刊
中国期刊网来源刊
2011年度核心期刊，国家新闻出版总署收录 ASPT来源刊，中国期刊网来源刊，百种重点期刊，社科双百期刊，首届全国优秀社科期刊。
浅谈数学方法在高三物理力学解题中的应用
【作者】 张正贵
【机构】 贵州省兴义市神奇中学
【摘要】随着新课程的深入，学科之间的贯穿不断加强，数学与物理的整合也日益紧密。所有的自然现象社会现象都可以抽象、概括成一个数学模型。这种特点在物理学中尤为明显。可以说，物理模型抽取其概念就变成数学：而数学如果赋予其物理概念，规律就变成了物理。要想学好高中物理，必须要有扎实的数学基础。由此可见，应用数学工具解决物理问题是高中生应该必备的一种能力，在近几年的高考中也不难发现，应用数学工具解决物理问题是重点的考察内容，本文主要介绍几种物理中最常用的数学方法。【关键词】数学方法；物理力学；高中物理；应用；物理概念；物理问题
【正文】
中学物理考试大纲明确要求考生必须具备 ：“ 应用数学处理物理问题的能力 能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。
最近复习相互作用和牛顿定律的内容，很多题目都涉及到数学方法，在此举几个例子，供同学复习时参考：
一、相似三角形法
形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几何三角形的边长己知时。
【例】 如右图1A所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一重为G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，己知AB绳长为l，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d,角ABO＞900。求绳中张力和大球对小球的支持力（小球直径忽略不计）
【解析】选小球为研究对象，受到重力G、绳的拉力F和 大球支持力FN的作用(如图1B示)。由于小球处于平衡状态，所以G、F、FN组成一个封闭三角形。根据数学知识可以看出三角形AOB跟三角形FGFN相似，根据相似三角形对应边成比例得
F/L=G/(d+R)=FN/R
解得 F=G?L/(d+R) FN=G?R/(d+R)
[讨论] 由此可见，当绳长L减小时F变小，FN不变。
二、正弦定理（拉密定理）
如果在共点的三个力作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右图2所示，表达式为：
F1/Sinα=F2/Sinβ=F3/Sinθ
此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。
【例】如图，船A从港口P出发支拦截正以速度v0沿直线航行的船B，P与B所在航线的垂直距离为a，A船启航时，B船与P的距离为b，b＞a，如果略去A船启动时的加速过程，认为它一启航就做匀速运动，求：
（1）A船能拦到B船的最小速率；
（2）A船拦到B船时两船的位移
解析：（1）设两船在C相遇
在△PBC中，■=■
v=■v0，式中sin·α=■
当β=900时，即v跟PB垂直时，v最小，最小速率为v=■v0
（2）拦到船时，A船位移为sA=■ B船位移为sB=■
答案：（1）v=■v0 （2）sA=■ sB=■
【练习】 如图3所示，小球质量为m，置于倾角为θ的光滑斜面上，悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力FN和悬线对小球的拉力F。
【解析】 选小球为研究对象，小球受力如图所示，球受三个力作用而处于平衡状态。根据正弦定理得：
F/sin(1800－θ)=FN/sin(1800－α)=mg /sin(α+θ)
即 F/sinθ=FN/sinα=mg/sin(α+θ)
所以 F=mg·sinθ/sin(α+θ) FN=mg ·sinα/sin(α+θ)
三、图象法
物理图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程、鲜明地表示物理量之间的相互关系.因此, 图像在中学物理中应用广泛，是分析物理问题的有效手段之一。从题给图像获取信息帮助解题类问题，要注意正确理解图像的内涵：如明确图像所代表的物理过程；弄清坐标所代表的物理量及其单位，进而弄清图线上各点读数的物理意义；弄清图线与坐标轴上的截距的物理意义；弄清图线与坐标轴所围面积的物理意义；弄清图线渐近线的物理意义；弄清图线上一些特殊点（如图线的拐点、端点、极值点及两条图线的交点等）的物理意义等。对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题，要根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来，将物理量间的代数关系转化为几何关系,运用图像直观、简明的特点，分析解决物理问题.
【例】一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F的大小随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示.重力加速度g取10m/s2,试结合图象，求运动员在运动过程中的最大加速度．
解：由图象可知，运动员的重力为 mg＝500N ①
弹簧床对运动员的最大弹力为 Fm＝2500N ②
由牛顿第二定律得 Fm－mg＝mam ③
则运动员的最大加速度为 am＝40m/s2 ④
（ 本题也可以求上升的最大高度）
【练习】“神舟”六号飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地球表面按预定轨道返回，返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降，穿越大气层后，在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落，这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k，所受空气浮力恒定不变，且认为竖直降落。从某时刻开始计时，返回舱的运动v—t图象如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴一点B，其坐标为（8，0），CD是曲线AD的渐进线，假如返回舱总质量为M=400kg，g=10m/s2，求
（1）返回舱在这一阶段是怎样运动的？
（2）在初始时刻v=160m/s，此时它的加速度是多大？
（3）推证空气阻力系数k的表达式并计算其值。
四、函数法（极值问题）
数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式“和积不等式”的性质求极值。
【例】物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为μ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？
该题的已知量只有μ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有μ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。
解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，
即Fcosθ-?蕊=0……①
N+Fsinθ=G……②
?蕊=μN…………③
由联立①②③解得：
F=■=■=■,
其中, tanφ= ■∴Fmin=■G
参考文献：
[1]何强林，刍议高中物理力学解题方法的研究[J] ，华章，2013年08期
[2]郑上郭，探究高中物理力学综合题解题技巧[J] ，数理化学习，2013年04期
[3]于雄，浅析高中物理力学学习方法[J];新课程(中学) ，2014年02期
[4]曾庆仿，高考地理解题中的几点技巧和规律浅探[J] ，新课程(教研版);2010年04期
中学物理考试大纲明确要求考生必须具备 ：“ 应用数学处理物理问题的能力 能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。
最近复习相互作用和牛顿定律的内容，很多题目都涉及到数学方法，在此举几个例子，供同学复习时参考：
一、相似三角形法
形法通常寻找的是一个矢量三角形与一个几何三角形相似。利用相似三角形对应边的比例关系求解力的大小，特别是当几何三角形的边长己知时。
【例】 如右图1A所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一重为G的小球，小球静止在固定的光滑大球表面上，己知AB绳长为l，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC=d,角ABO＞900。求绳中张力和大球对小球的支持力（小球直径忽略不计）
【解析】选小球为研究对象，受到重力G、绳的拉力F和 大球支持力FN的作用(如图1B示)。由于小球处于平衡状态，所以G、F、FN组成一个封闭三角形。根据数学知识可以看出三角形AOB跟三角形FGFN相似，根据相似三角形对应边成比例得
F/L=G/(d+R)=FN/R
解得 F=G?L/(d+R) FN=G?R/(d+R)
[讨论] 由此可见，当绳长L减小时F变小，FN不变。
二、正弦定理（拉密定理）
如果在共点的三个力作用下，物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成正比。如右图2所示，表达式为：
F1/Sinα=F2/Sinβ=F3/Sinθ
此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。
【例】如图，船A从港口P出发支拦截正以速度v0沿直线航行的船B，P与B所在航线的垂直距离为a，A船启航时，B船与P的距离为b，b＞a，如果略去A船启动时的加速过程，认为它一启航就做匀速运动，求：
（1）A船能拦到B船的最小速率；
（2）A船拦到B船时两船的位移
解析：（1）设两船在C相遇
在△PBC中，■=■
v=■v0，式中sin·α=■
当β=900时，即v跟PB垂直时，v最小，最小速率为v=■v0
（2）拦到船时，A船位移为sA=■ B船位移为sB=■
答案：（1）v=■v0 （2）sA=■ sB=■
【练习】 如图3所示，小球质量为m，置于倾角为θ的光滑斜面上，悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于静止状态。求斜面对小球的支持力FN和悬线对小球的拉力F。
【解析】 选小球为研究对象，小球受力如图所示，球受三个力作用而处于平衡状态。根据正弦定理得：
F/sin(1800－θ)=FN/sin(1800－α)=mg /sin(α+θ)
即 F/sinθ=FN/sinα=mg/sin(α+θ)
所以 F=mg·sinθ/sin(α+θ) FN=mg ·sinα/sin(α+θ)
三、图象法
物理图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程、鲜明地表示物理量之间的相互关系.因此, 图像在中学物理中应用广泛，是分析物理问题的有效手段之一。从题给图像获取信息帮助解题类问题，要注意正确理解图像的内涵：如明确图像所代表的物理过程；弄清坐标所代表的物理量及其单位，进而弄清图线上各点读数的物理意义；弄清图线与坐标轴上的截距的物理意义；弄清图线与坐标轴所围面积的物理意义；弄清图线渐近线的物理意义；弄清图线上一些特殊点（如图线的拐点、端点、极值点及两条图线的交点等）的物理意义等。对用图题中要求根据题意作出相关图像来帮助解题类问题，要根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来，将物理量间的代数关系转化为几何关系,运用图像直观、简明的特点，分析解决物理问题.
【例】一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力F的大小随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示.重力加速度g取10m/s2,试结合图象，求运动员在运动过程中的最大加速度．
解：由图象可知，运动员的重力为 mg＝500N ①
弹簧床对运动员的最大弹力为 Fm＝2500N ②
由牛顿第二定律得 Fm－mg＝mam ③
则运动员的最大加速度为 am＝40m/s2 ④
（ 本题也可以求上升的最大高度）
【练习】“神舟”六号飞船完成了预定的空间科学和技术实验任务后返回舱开始从太空向地球表面按预定轨道返回，返回舱开始时通过自身制动发动机进行调控减速下降，穿越大气层后，在一定的高度打开阻力降落伞进一步减速下落，这一过程中若返回舱所受空气摩擦阻力与速度的平方成正比，比例系数（空气阻力系数）为k，所受空气浮力恒定不变，且认为竖直降落。从某时刻开始计时，返回舱的运动v—t图象如图中的AD曲线所示，图中AB是曲线在A点的切线，切线交于横轴一点B，其坐标为（8，0），CD是曲线AD的渐进线，假如返回舱总质量为M=400kg，g=10m/s2，求
（1）返回舱在这一阶段是怎样运动的？
（2）在初始时刻v=160m/s，此时它的加速度是多大？
（3）推证空气阻力系数k的表达式并计算其值。
四、函数法（极值问题）
数学方法包括（1）用三角函数关系求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式“和积不等式”的性质求极值。
【例】物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为μ，物体重为G，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F为多大？
该题的已知量只有μ和G，说明最小拉力的表达式中最多只含有μ和G ，但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关系式再作分析。
解：设拉力F与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式，
即Fcosθ-?蕊=0……①
N+Fsinθ=G……②
?蕊=μN…………③
由联立①②③解得：
F=■=■=■,
其中, tanφ= ■∴Fmin=■G
参考文献：
[1]何强林，刍议高中物理力学解题方法的研究[J] ，华章，2013年08期
[2]郑上郭，探究高中物理力学综合题解题技巧[J] ，数理化学习，2013年04期
[3]于雄，浅析高中物理力学学习方法[J];新课程(中学) ，2014年02期
[4]曾庆仿，高考地理解题中的几点技巧和规律浅探[J] ，新课程(教研版);2010年04期
