【正文】
　　在初中教捌中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础涔弱．又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，根难从本质上加以理解。进人高中以后，尤其是高三复习阶段，婪对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
　　一、进一步深入理解函数概念
　　初中阶段已经讲述了函数的定义．进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数．这时就可以用学生已经有一定了解的函数、特别是一次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集台A(定义域)到集合B(值域)上的映射7：A—B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集台A的元素x对应，记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域巾的元素X在值域中的象．从而使学生剐函数的概念有个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　类型I：已知f(x)=2x2+x+2，求f(x+1)
　　这里不能把f(X+1)解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　类型Ⅱ：设f(x+1)=x2-4x+1，求f(x)
　　这个问题理解为，已知对应法则?下定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1．求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。
　　一般有两种方法：
　　(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
　　f(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6再用x代x+1得f(x)=x2-6x+6
　　(2)变量代按：它的通应性强．对一般函数都可适用。
　　令t=x+1．则x=t-1  ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而f(x)=c2-6x+6
　　二、二次函数的单调性，最值与图象。
　　在高中阶阶段学习单调性时．必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间( -∞，-■  )及（-■，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进步充分利用函数图象的直观性．给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关一些函数单调性。   
　　类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
　　(1)y=x2+2lx-11-1
　　(2)v=lx2-ll
　　(3)=x2+2lxI-1
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段雨数去表示l然后面出其图象。
　　类型Ⅳ设f(x)=x2-2x-1在区让l t,t+1l上的最小值是g(t)。
　　求g(t)并画出y=g(t)的图象
　　解f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，在x=1时取最小值-2
　　当l∈[l,l+1]即0≤l≤1，g(l)=-2
　　当l>1时，g(l)=f(l)=l2-21-1
　　当l<0时，g(t)=f(t+1)=t2-2
　　G(t)=t2-2，(t<0)-2，(0≤t≤1)t2-2t-1，(t>1)  
　　首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或足只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
　　如：y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1)，求该函数的值域。
　　三、二坎函数的知识，可以准确反映学生的数学思维
　　类型V：设二次画数r(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)=0的两个根x．，x2满足0<x1<x2<■
　　(I)当x∈(0,x1)时。证明x<f(x)<x1。
　　(11)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0<■。
　　解题思路：
　　本题要证明的是x<f(x),f(x)<x1 和x0<■，由题中所提供的信息可以联想到①f(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程f(x)-x=0可变为ax2+(b-1)xtl=0，它的两根为hb可得到札啦与a、b 、c之间的关系式，因此解题思路明显有一条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，轴之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：
　　1、 先证明x<f(x)，令f(x)=f(x)-x，因为x1，x2是方程f(x)-x=0的根，f(x)=ax2+bx+c，所以能f(x)=a(x-x1)(x-x2).
　　因为0<x1<x2所以，当x∈(0，x1)时，x-x1<0，x-x2<O得
　　(x-x1)(x-x2)>0，又a>0，因此f(x>0，即f(x)-x>0至此，证得x<f(x)
　　根据韦达定理，有x1x2=■    ∵0<x1<x2<■,c=ax1x2<x=f(x1)   又c=f(0),∴f(0)<f(x1)
　　根据二次函数的性质，曲线y=f(x)是开口向上的抛物线，因此，函数y=f(x)在闭区间[0、x1]的最大值在边界点x=O或x=x1处达到．而且不可能在区日的内部达到，由于f(x1)>f(0)，所以当x∈(0,x1)，
　　即x<f(x)<x1
　　(11) f(x)=ax2+bx+c=a (x+-■) 2+(c-■),(a＞0)
　　函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-■且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0-■，因为x1,x2是二次方程ax2(b-1)x+c=o的根，根据违达定理得x1x2=-■ 
 ∵x2-■<0  ∴x0=-■=■(x1x2-■)  即x0=■
　　二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基布的幂函数．可以以官为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、程、不等式之问的联系，可以偏拟出层山不穷、灵活多变的数学问题考查学生的数学基础知识和综合数学素质．特别是能从解答的深人程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
　　二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深人。