【正文】  函数与方程的思想方法就是对于数学问题要学会用变量和函数来思考，学会转化未知与已知的关系.什么是函数思想？简单地说就是学会用变量和函数来思考，在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数，把表面不是函数的问题化归为函数问题.
　　和函数有必然联系的是方程.方程f(x)=0就是函数的图象与轴交点的横坐标，函数也可以看作二元方程f(x)-y=0，通过方程进行研究，要确定变化过程中的某些量往往要转化为求这些量满足的方程.希望通过这些方程（组）来求得这些量。这就是方程思想。方程思想就是动中求静，研究运动中的等量关系.
　　教材中解一元二次不等式时,结合它对应的二次函数以及一元二次方程来解决的.这是第一类, 方程f(x)-y=0就是函数y=f(x)的图象与轴交点的横坐标;第二类,函数是一个等式,把这个等式也可以看作二元方程f(x)-y=0，通过方程进行研究.我们往往忽略了第二类,看看下面四问题中蕴涵的函数与方程的思想.
　　一、 求函数的解析式
　　例1、 设f(x)+2f(■)=2x+1，求f(x).
　　分析:解函数方程.
　　解: 把f(x)+2f(■)=2x+1中的x换成■得
  f(■)=2f(x)=■+1
   　可以推出f(■)=-2f(x)+■+1
　　代入原式解方程得
  f(x)=-■
　　二、 用判别式法求函数的值域
　　例2求函数y=■的值域.
　　分析:把函数y=■中的看作一个常数,把这个等式看作是一个关于的方程.
　　解:由y=■ 得
  y=(x2+2x+3)=x2-2x+3
　　整理得
  (y-1)x2+2(y+1)x+3(y-1)=0
　　当y=1时,x=0; 
　　当y≠0时,此方程有解
  △=4(y+1)2-12(y-1)2≥0
　　解得2-■≤y≤2+■且y≠1.
　　综上所述, 函数y=■的值域为[2-■,2+■]
　　三、 求一个函数的反函数
　　例3、求函数y=■(x≥0)的反函数.
　　分析:就是把原函数看作是一个关于x的方程,把x解出来.
　　解: 由y=■≥0得
  ■=y→x=y2
　　所以,函数y=■(x≥0)的反函数为y=x2(x≥0)
　　四、 反过来把方程看作函数
　　例4、 于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
                           
　　分析：如果用根的分布知识去做就会显得很复杂；如果转化成函数的问题，令f(x)=ax2+2x+1，要分a的正负三种情况去讨论也很复杂，如果换一种方式，由ax2+2x+1=0得a=-■=-(■+■)=-(■+1)2+1(x＜0)≤1，即a≤1。
　　解：由ax2+2x+1=0（x≠0)得a=-■=-(■+■)=-(■+1)2+1(x＜0) ，原命题等价于求函数f(x)=-(■+1)2+1在（-∞,0)上的值域，从而a=f(x)≤1 .
　　例5、若-3＜x＜1时，不等式(1-a)x2-4x+6＞0成立，求实数a的取值范围.
　　解： (1-a)x2＞4x-6
　　当x=0时, 0＞-6成立,符合题意.
　　当x≠0时，则1-a＞■=■-■（-3＜x＜1），
　　设y=（■-■）（-3＜x＜1），令t=■，则t＜-■，或t＜1
  y=4t-6t2(t＜-■,或t＜1)
　　而y=4t-6t2(t＜-■,或t＜1)
　　由于t＜-■,或t＜1
　　所以y＜-2
　　若-3＜x＜1时，不等式(1-a)x2-4x+6＞0成立，即
　　1-a＞■-■（-3＜x＜1）恒成立.
　　故1-a≥-2,得a≤3.
　　所以,实数的取值范围.
　　在很多情况下，函数可以看作方程，方程可以看作函数，这种方程与函数辨证关系，拓宽了我们解决常量问题的渠道应注意函数思想与方程思想常常是相辅相成的.